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한번 읽고 평생 써먹는 수학 상식 이야기 (살림청소년 융합형 수학과학총서 48)
정경훈 지음 | 2016년 7월 5일
브랜드 : 살림Friends
쪽수 : 296 쪽
가격 : 15,000 원
책크기 : 152*225
ISBN : 978-89-522-3417-9-43410
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보도자료 : 9788952234179_1.hwp
“미적분은 배워서 뭐하냐고?”
평생에 도움이 되는 수학 상식 총정리!
1+1이 왜 2인지 답을 못한다면 반드시 읽어야 할 책
학교에서 가르쳐주지 않는 수학 개념 원리의 모든 것!
“에디슨 씨는 마트에서 1+1 상품을 사도 하나만 가져가세요.”
현재 서울대학교에서 강의하고 있는 정경훈 교수가 네이버캐스트에 연재한 ‘1+1이 2인 이유?’라는 글에 달린 댓글 중 하나다. 1+1은 1이라고 주장한 에디슨에게 네티즌이 날린 재치 있는 일침이었다. 그리고 이 댓글에 대한 반응은 자못 뜨거웠다. 1+1=2처럼 우리가 당연하게 여기는 상식에도 수학적으로 이야기할 거리가 있다. 이 주제에 대해, 생각지도 못했던 곳에 수학의 중요한 원리가 숨어 있었다며 신기해한 네티즌들이 많았다.
정경훈 교수는 오래전부터 온라인을 통해 청소년들이 어려워하는 수학 질문을 명쾌하게 풀어주면서, 청소년들이 조금 더 수학과 가까워질 수 있기를 기대했다. 그리고 사람들이 공통적으로 무엇을 헷갈려하는지, 어떤 이야기를 궁금해하는지 깨닫게 되었다. 이런 경험을 바탕으로 네이버캐스트 코너에 글을 연재하기 시작했다. 연재 기간만 무려 5년. 저자의 글은 네티즌의 큰 관심을 크게 끌었고 500만 건에 육박하는 누적 조회수를 기록했다. 특히 청소년들은 교과서로는 배울 수 없었던, 확장된 지식이나 수학사 속 비화를 재미있어하고 유익하게 여겼다. 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 그릴 수 없다는 ‘3대 작도 불능 문제’를 소개했을 때에는 네티즌들 사이에 열띤 토론이 벌어지기도 했다. 저자가 독자들의 지적 호기심을 저격했다는 방증이다.
저자는 더 많은 독자와 수학 이야기를 나누고 싶었다. 그래서 네이버캐스트 독자들의 의견을 적극 반영하여 연재했던 글을 다듬어서 한 권의 책으로 엮었다. 덕분에 『한 번 읽고 평생 써먹는 수학 상식 이야기』에는 읽는 것만으로 독자들의 뇌가 섹시해지는 수학 상식이 가득 실리게 되었다. 풍성한 수학 상식도 하나의 매력으로 어필되는 요즘 시대에 꼭 읽어야 할 책이다.

1+1의 증명부터 ‘대수학의 기본 정리’까지,
폭넓은 수학의 세계를 맛본다!
수학 전문가나 수학을 특별히 좋아하는 사람들은, 당연해 보이는 문제에 대해 왜 그런지 혹은 정말로 맞는지 되묻는 자세를 중요하게 여긴다. 뻔한 것 같은 수학 개념도 곱씹다 보면 새로운 깨달음이 오기 때문이다. 좋은 노래를 여러 번 들으면 또 다른 감동이 밀려오는 것처럼 말이다. 이 책에서 소개하는 수학자들의 사고방식을 따라가면 수학의 새로운 참맛을 느낄 수 있다.
1부는 1+1로 자연수의 성질을 설명하기 시작해서 수 개념의 변천사를 다룬다. 세상살이에는 자연수만으로 충분하다고 생각하는 사람들이 많다. 하지만 현실은 그렇게 녹록치 않다. 18세기의 사람들은 ‘빚을 음수, 재산을 양수라고 친다면 빚과 빚을 곱했을 때 재산이 된단 말인가?’라며 음수의 곱셈 개념을 어려워했다. 지금의 우리는 ‘음수 곱하기 음수는 양수’라는 개념을 너무도 당연하게 여기지만 이것이 상식으로 굳어진 것은 역사상 최근의 일인 것이다.
2부는 의외의 곳에서 활약하는 일상 속 수학을 찾아본다. 범죄를 예측하는 수학 프로그램, 주민등록번호 마지막 자리인 오류 검출 부호, CT 사진의 원리 등에 대해 배울 수 있다. 세계지도를 색칠하는 문제인 ‘4색 정리’는 최초로 컴퓨터를 이용해서 증명한 수학 정리다. 컴퓨터를 이용했으니 진정한 증명이 아니라고 주장하는 이들이 많아서 당시에 큰 논란거리였다. 수학이 생활 깊숙이 퍼질 때 사람들이 보이는 다양한 반응이 재미있다.
3부는 수학자들이 어떠한 고민을 거쳐 오늘날의 수학을 완성했는지 엿본다. 로그 발명의 배경, 미적분의 숨은 참뜻, 대수학의 기본 정리 등이다. 수학자들은 문제를 집요하게 물고 늘어지는 반면, 계산하는 걸 끔찍이 싫어하기도 한다. 놀랍게도 이런 근성과 게으름의 공존이 새로운 함수들의 탄생을 이끌었다. 그 일례로 로그함수가 있다. 16세기까지 몇 십 자릿수의 숫자들을 곱하거나 나누는 일은 수학자들에게 매우 성가신 일이었다. 이 작업이 귀찮아진 수학자 네이피어는 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 바꾸는 마법 같은 로그함수를 창조했다.
이처럼 저자는 총 3개의 부를 통해 수학 발전의 흐름과 역사상 수학자들이 직면했던 도전을 자연스럽게 소개한다. 그리고 그렇게 발전한 수학이 현재의 첨단 기술에 어떻게 활용되는지 짚어 준다. 독자들은 수학자들이 ‘아하!’를 외치며 무릎을 탁 치는 순간의 즐거움을 함께 만끽할 수 있다. 아울러 교과서에서 다루지 못하는 폭넓은 수학의 세계와 마주하는 기쁨을 경험할 수 있을 것이다.

이 책의 마지막 장을 덮는 순간,
수학 울렁증은 사라지고 수학자처럼 생각하기 시작할 것이다
당연한 것 같지만 막상 그 이유를 물으면 말문이 막히는 문제들이 있다. 1+1이 2인 이유, 숫자 0으로는 나눌 수 없는 이유 등에 대해 제대로 답할 사람이 몇이나 있을까? 저자는 상식 수준의 수학만으로 이런 문제들을 증명해 나간다. 신기하게도 이렇게 하나하나 질문들을 해결해 나가다 보면 어느새 수학에 대한 자신감이 높아진다. 고민하는 과정에서 수학적 사고력이 발달하기 때문이다.
이 책에는 이처럼 유익한 답들이 고스란히 담겨 있다. ‘3차 방정식은 답을 한 번에 구할 수 없나?’에 대해서는 ‘근의 공식이 있다!’라고, ‘머리 아픈 미적분은 어디에 써먹나?’라는 질문에는 ‘광통신, CT 사진, 지구 모형 분석’에 활용할 수 있다고 답한다. 『한번 읽고 평생 써먹는 수학 상식 이야기』를 통해서 독자들은 문제 풀이 위주의 따분한 수학에서 벗어나 수학적으로 고민하고 해결하는 방법을 깨닫게 될 것이다. 어쩌면 이 책에서 소개하는 수학 상식을 의외의 곳에 써먹는 순간이 올지도 모른다. 누가 알겠는가? ‘GIMPS’이라는 컴퓨터 프로그램을 이용해 가장 큰 소수(素數)를 발견하고 상금 15만 달러(약 1억 7,000만 원)를 거머쥐게 될지! GIMPS 프로그램을 이용한 소수 사냥은 로또에 당첨되는 것보다 승산이 높은 편이라고 하니까 말이다. 이처럼 수학의 재미있는 이면은 청소년 독자로 하여금 세상을 새롭고 다르게 바라보도록 만드는 원동력이 될 것이다.
들어가며
1부. 우리가 미처 몰랐던 수의 비밀 : 수 개념의 발달
1. 천재 에디슨도 틀렸다 : 1+1=2인 이유
2. 슈퍼컴퓨터도 못하는 계산이 있다 : 0으로 나눌 수 없는 이유
3. 반대의 반대는 찬성이라고? : 음수 곱하기 음수가 양수인 이유
4. 가장 큰 소수(素數)를 찾으면 유명해진다 : 소수가 무한개인 이유
5. 자연수 개수와 짝수 개수가 같다?! : 무한 이야기① 자연수 vs 짝수
6. 방이 무한개인 힐베르트의 호텔 : 무한 이야기② 자연수 vs 정수
7. 같은 듯, 다른 듯 헷갈리는 너 : 0.9999…는 왜 1인가?
8. 나눗셈만으로는 표현하기에는 무리인 수 : 는 무리수
9. 사칙연산을 초월한 수 : π, e는 초월수
10. 기하학과 대수학은 복소수로 완성한다 : 복소수와 오일러의 공식

2부. 의외의 곳에서 활약하는 수학 원리 : 일상 속 수학
1. 수학으로 범죄를 예측한다! : 수사 드라마 속 수학
2. 바코드 번호에 숨겨진 비밀 : 컴퓨터의 오류 정정
3. 옛날 피아노는 건반이 달랐다 : 음악과 수학
4. 대책이 없으면 항상 지는 게임 : 피보나치 돌 줍기 게임
5. 『다빈치 코드』에 숨은 수학 : 피보나치 수열과 황금비
6. 붉은 악마는 붉은 유니폼을 입고 싶다 : 4색 정리 ① 유니폼 색깔 문제
7. 도넛 위의 지도를 칠하려면? : 4색 정리 ② 오일러 표수
8. 색연필 4자루로 세계지도를 칠할 수 있다 : 4색 정리 ③ 최초의 컴퓨터 증명
9. 물에 빠진 사람을 구하려면 어느 지점에서 물로 뛰어들어야 할까? : 미분의 응용
10. 가려진 물체를 밖에서 보게 해 주는 적분 : CT 사진의 원리

3부. 수학자도 깜짝 놀라는 함수의 세계 : 함수들의 탄생
1. 피타고라스가 원을 만나면? : 라디안과 삼각함수
2. 나는 수학한다. 고로 존재한다 : 작도 이야기 ① 데카르트와 작도
3. 못 말리는 고집불통, 삼등분가 : 작도 이야기 ② 3대 작도 불능 문제
4. 자와 컴퍼스만으로 3° 그리기 : 작도 이야기 ③ 정다각형의 작도
5. 인류의 오랜 꿈 : 3차 방정식의 해법
6. 계산하기 귀찮아서 태어났다 : 로그의 발견
7. 엄청난 노동으로 완성한 기막힌 표 : 자연로그
8. 곡선과 가장 가까운 직선을 찾아라 : 미분 이야기
9. 쭈글쭈글한 함수의 면적이 궁금하다면 : 미적분의 기본 정리
10. 수학자는 하트 곡선으로 고백한다 : 대수학의 기본 정리
발명왕 에디슨이 “찰흙 한 덩이에 찰흙 한 덩이를 합치면 여전히 한 덩이이므로 1+1=1일 수도 있지 않을까요?”라고 질문해서 선생님의 말문이 막혔다는 이야기가 있다. 또는 물 한 방울에 물 한 방울을 합치면 여전히 물이 한 방울이니까 1+1이 2가 아닐 수도 있다고 생각할 수 있다. 많은 사람들이 이 이야기에 공감한다. 과연 에디슨의 말은 옳은 것일까? 곰곰이 생각해 보자.

찰흙 두 덩이를 합치면 한 덩이다?
에디슨이 오른손에 든 한 덩이와 왼손에 든 한 덩이는 같은 한 덩이일까? 무게나 부피를 재 보거나 모양을 보면 틀림없이 누구나 다르다는 것을 알 수 있다. 양쪽이 다른 데도 같은 ‘한 덩이’라는 말을 쓴 것을 보면, 에디슨에게는 ‘한 덩이’란 ‘한 손으로 쥘 수 있는 양’ 정도의 뜻이었을 것이다. 그럼 양손에 든 한 덩이씩을 합친 것은 한 손으로 쥘 수 있는 양일까? 아닐 것이다. 즉, 에디슨의 주장 1+1=1에서 등호 = 뒤에 나오는 1은 등호 앞에 나오는 두 개의 1과 뜻이 달라진 것이다. 따라서 에디슨의 주장은 옳지 않다.
이처럼 에디슨의 ‘한 덩이’는 사람마다 기준이 달라지는 애매모호한 단위라는 사실을 지적할 수 있다. 애매모호하지 않고 기준이 정해진 단위인 그램(g) 같은 것을 썼다면 이런 잘못을 범하지는 않았을 것이다. 물론 에디슨도 어렸을 때의 순진한 주장을 어른이 되어서도 고집하지는 않았을 것이다. 두 상자 분량의 전구를 큰 상자 하나에 넣은 뒤 한 상자 값에 팔았다는 얘기는 들어 본 적이 없으니 말이다.
-pp. 13~14, ‘천재 에디슨도 틀렸다 : 1+1=2인 이유’ 중에서

컴퓨터는 왜 0으로 나눌 수 없다고 하는 것일까? 먼저 근본적으로 컴퓨터는 나눗셈을 못한다는 것부터 말해야겠다. 계산 능력이 탁월한 컴퓨터가 나눗셈을 못하다니 무슨 뚱딴지 같은 소리냐고 오해하지 말길 바란다. 컴퓨터가 나눗셈을 못한다는 말은, 컴퓨터가 나눗셈을 할 때 ‘뺄셈’을 반복해서 처리한다는 뜻이다. 사실은 뺄셈도 덧셈과 보수 연산을 이용해서 처리한다. 어쨌든 0으로 나누려면 0을 빼는 일을 반복해야 하는데, 0을 아무리 빼도 값이 변하지 않는다. 그래서 뺄셈만 반복하며 무한 루프에 빠져 버릴 것이다. 그냥 뒀다가는 0만 빼다가 세월 다 보낼 테니, 0으로 나누는 것을 금지할 수밖에 없는 것이다.
컴퓨터에서 0으로 나누기 오류를 잘못 처리했다가 문제가 생긴 유명한 사례가 있다. 1996년부터 스마트 전함을 테스트하기 위해 미국은 군함 USS 요크타운 호에 펜티엄 프로에 기반한 윈도우 NT를 장착하여 운영비를 절감하려고 했다. 어떤 대원이 데이터베이스 자료 입력 공간에 0을 입력하였고 컴퓨터는 ‘0으로 나누기’를 시도하였다. 결국 네트워크상의 모든 기계들이 정지하여 추진력을 상실하는 사고가 발생했고, 비싼 돈을 들여 견인하는 수모를 겪어야만 했다. 0으로 나누려는 시도를 제대로 처리했더라면 없었을 일이었다.
-pp. 29~30, ‘슈퍼컴퓨터도 못하는 계산이 있다 : 0으로 나눌 수 없는 이유’ 중에서

2016년 초 방영된 범죄 스릴러 드라마 에서 ‘지오프로스(Geopros)’라는 소프트웨어가 잠깐 언급된 적이 있다. 이는 2011년 캘리포니아 지역 경찰이 실제로 사용했던 소프트웨어인 ‘프레드폴(Predpol)’을 구입하여, 한국의 현실에 맞게 변형한 것이라고 한다. 프레드폴은 범죄를 ‘예측’한다고 하는 상업용 소프트웨어다. 톰 크루즈 주연의 영화로 유명한 가 떠올랐다면 프레드폴이 나왔을 당시 미국인들의 반응과 비슷하다. 물론 영화에서는 미래를 볼 수 있는 예지자(precog)들이 범죄를 예측한다. 그러나 프레드폴은 수학에 기반한 소프트웨어가 예측한다는 점에서 엄청난 차이가 있다.
물론 이 소프트웨어는 구체적인 범인이나 범죄 장소를 예측하지는 못한다. 이 소프트웨어의 기본적인 목적은 어느 지역에서 범죄가 일어날 가능성이 높은지 수학적으로 예측하여, 그곳에 순찰 등을 강화하고 경찰력을 늘려 범죄를 예방하는 것이다. 실제로 산타크루즈 지역에 적용한 결과 눈에 띄게 범죄 감소 효과를 봤다고 하며 이후 우리나라를 비롯한 세계 각국에 판매됐다. 프레드폴은 지진에 대한 수학 모형을 변형한 모형에 해당 국가나 도시의 특색에 맞는 기계학습(machine learning)을 시켜 변수를 조절하는 소프트웨어로 출발했다. 프레드폴의 구체적인 작동원리는 당연히 공개하지 않고 있으며 비록 소프트웨어의 효용성이 과장되었다는 주장도 제기되지만, 수학 모형에 기반한 소프트웨어가 범죄 예방에 도움이 된다는 것만은 사실인 것 같다.
-pp. 113~114, ‘수학으로 범죄를 예측한다! : 수사 드라마 속 수학’ 중에서

16세기 후반 최고의 천문학자 티코 브라헤(Tycho Brahe, 1546~1601)는 삼각함수를 이용한 빠른 곱셈법에 능통했다. 브라헤는 덴마크로 가다가 날씨 때문에 자신의 천문대를 방문한 왕자(훗날 영국의 왕 제임스 1세가 된다)에게 이런 계산법을 시범 보였다고 한다. 당시 주치의로 동행했던 존 크레이그(John Craig, ?~1620)는 이 계산법을 절친한 친구 존 네이피어에게 보여 줬다. 이에 자극을 받은 네이피어는 20여 년간 연구를 거쳐 ‘로그(logarithm)’를 발명했고 1614년 『로그의 놀라운 규칙(Mirifici logarithmorum canonis description)』을 통해 발표했다. 로그의 규칙이 왜 놀랍다는 것인지 이제부터 살펴보겠는데, 현대적으로 각색하여 표현하기로 한다.
(중략)
네이피어의 발견은 격한 찬양을 받았다. 특히 헨리 브리그스(Henry Briggs, 1561~1631)는 런던에서 에든버러까지 네이피어를 직접 찾아가, “이제는 누구나 쉽게 여기지만, 당신이 발견하기 전까지 아무도 발견하지 못했다는 사실이 의아합니다.”라며 존경을 바쳤다. 다음 해 한 번 더 찾아간 브리그스는 1에서의 로그값이 0이 되도록 로그의 정의를 조정하자는 의견을 냈고 네이피어도 동의했다. 다만 네이피어는 병으로 인해 쇠약해진 상태였기 때문에 새로운 로그표의 계산은 브리그스가 이어받았다.
브리그스는 시행착오를 거친 끝에 오늘날 상용로그라 부르는, 10에서의 로그값이 1이 되도록 하는 로그가 10진법을 쓰는 인간에게 편리하다는 결론을 내렸다. 브리그스가 만든 로그표는 3세기 동안 가장 우수한 로그표의 자리를 지켰다.
-pp. 257, 260, ‘계산하기 귀찮아서 태어났다 : 로그의 발견’ 중에서